Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 19 - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.


Rozwiązać równanie wykładnicze 3^{\frac{1}{x}}=27^x


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}
\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0/:(-3)
x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0
\underline{x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x} tło tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.

\frac{1}{x}=3x \\ \frac{1}{x}-3x=0

Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika

\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

1-3x^2=0/:(-3) \\ x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 tło

Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:

x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}} \\ x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}

Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę \sqrt{\frac{1}{3}}:

\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}


ksiązki Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania:
x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}

© Media Nauka, 2009-11-28


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy