Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W tym przypadku zastosujemy metodę podstawienia. Trzeba jednak nieco przekształcić nasze równanie. Skorzystamy z dwóch własności potęg.

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
\(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\)

Mamy więc:

\((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\)

\((2^{-1})^{x-1}-(2^x)^2-1=0\)

\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)

Zastosujemy jeszcze inną własność działań na potęgach:

\(a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\)

\(2^{1-x}-(2^x)^2-1=0\)

\(\frac{2}{2^x}-(2^x)^2-1=0\)

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną.

\(2^x=t\)

\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)

Sprowadzamy wszystkie składniki po lewej stronie równania do wspólnego mianownika i pamiętamy, że ułamek jest równy zeru, jeśli licznik jest równy zero.

\(\frac{2}{t}-t^2-1=0\)

\(\frac{2}{t}-\frac{t^3}{t}-\frac{t}{t}=0\)

\(\frac{2-t^3-t}{t}=0\)

\(2-t^3-t=0/\cdot (-1)\)

\(t^3+t-2=0\)

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Jego rozwiązań szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego:

\(W(t)=t^3+t-2\)

\(W(1)=1^3+1-2=0\)

\(W(-1)=(-1)^3-1-2=-4\neq 0\)

\(W(2)=2^3+2-2=8\neq 0\)

\(W(-2)=(-2)^3-2-2=-12\neq 0\)

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek równy \(1\). Dzielimy więc wielomian \(W(t)\) przez jednomian \(t-1\).

obliczenia

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

\((t^2+t+2)(t-1)=0\)

Badamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w pierwszym nawiasie.

\(t^2+t+2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0\)

Jedynym rozwiązanie równania \((t^2+t+2)(t-1)=0\) jest liczba \(t=1\). Możemy wrócić do zmiennej x ponownie stosując podstawienie i dalej rozwiązujemy równanie wykładnicze korzystając z twierdzenia o równości potęg.

\(t=1\)

\(2^x=1\)

\(2^x=2^0\)

\(x=0\)

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\) jest liczba \(x=0\).

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-403

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.