Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 23 - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia


Rozwiązać równanie wykładnicze 4^x-2^{x+1}=-1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

4^x-2^{x+1}=-1 \\ (2^x)^2-2\cdot 2^x+1=0
2^x=t \\ t^2-2t+1=0 \\ (t-1)^2=0 \\ t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym przypadku do rozwiązania danego równania zastosujemy metodę podstawienia. Najpierw trzeba jednak nieco przekształcić równanie. Skorzystamy przy tym z jednej z własności działań na potęgach:

a^{m+n}=a^m\cdot a^n

4^x-2^{x+1}=-1 \\ (2^2)^x-2^x\cdot 2^1+1=0 \\ (2^x)^2-2\cdot 2^x+1=0 tło tło tło tło

Możemy teraz zastosować podstawienie i rozwiązywać równanie ze względu na nową zmienną. Za 2x podstawiamy nową zmienną t.

2^x=t \\ t^2-2t+1=0 \\ (t-1)^2=0 \\ t=1 \\ 2^x=1 \\ 2^x=2^0 \\ x=0 tło tło tło tło

We fragmencie obliczeń, zaznaczonym na żółto zastosowano wzór skróconego mnożenia:

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

W efekcie można było zastosować twierdzenie o równości potęg. (Fragment obliczeń zaznaczony na fioletowo ilustruje zastosowanie tego twierdzenia.) Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie zadania.

ksiązki Odpowiedź

x=0

© Media Nauka, 2009-11-28


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy