Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 25 - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia


Oblicz wartość wyrażenia W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6} dla a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}
=\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}
=\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b}
=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to zadanie musimy skorzystać z różnych własności logarytmów. Oto pierwsza z nich:

n\cdot {log_{a}{b}}=\log_{a}{b^n}

Możemy zatem napisać (kolorem żółtym zaznaczono działania związane z powyższym wzorem):

W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6} tło tło tło tło tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy własność działań na potęgach:

(a^n)^m=a^{m\cdot n}

W kolejnym kroku skorzystamy z własności różnicy dwóch logarytmów:

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}

Mamy więc

W=\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6} tło tło

W kolejnym kroku skorzystamy z własności sumy dwóch logarytmów:

\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}

Otrzymujemy więc:

W=\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b} tło tło tło tło

Na końcu obliczeń (fragment zaznaczony na żółto) znów skorzystaliśmy z własności działań na logarytmach, przytoczonej na samym początku.
Zauważmy, że zredukowała się zmienna a i aby obliczyć wartość wyrażenia, wystarczy za b podstawić wartość liczbową.

W=10\log{b}=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10

Dlaczego log(1/10)=-1? Podstawą logarytmu jest liczba 10, a liczbą logarytmowaną jest 1/10. Pytamy więc, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać 1/10 i otrzymujemy odpowiedź: -1


ksiązki Odpowiedź

W = -10

© medianauka.pl, 2009-12-01, ZAD-408


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.