Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 27 - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia


Oblicz: \frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(5^{\log_{5}{\frac{1}{8}}})^{-1}}{\log_{5}{10^{2}}-\log_{5}{4}}=\frac{(\frac{1}{8})^{-1}}{\log_{5}{\frac{100}{4}}}= \\ =\frac{8}{\log_{5}{25}}=\frac{8}{2}=4

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podczas rozwiązywania zadania skorzystamy z własności logarytmów oraz potęg. Korzystamy więc najpierw z własności logarytmów (kolor niebieski):

a^{log_{a}{b}}=b

a następnie z własności działań na potęgach (obliczania zaznaczono kolorem żółtym):

(a^m)^{n}=a^{m\cdot n}

Mamy zatem w liczniku:

\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(5^{\log_{5}{\frac{1}{8}}})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(\frac{1}{8})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}= \\ =\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}} tło tło tło tło

W mianowniku zastosujemy następujące wzory:

n\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}

oraz

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}

Otrzymujemy wówczas:

\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{10^2}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{\frac{100}{4}}}=\frac{8}{\log_{5}{25}}=\frac{8}{2}=4 tło tło

Dokonaliśmy tutaj prostego obliczenia logarytmu: log525=2, bo 52=25. Otrzymaliśmy tym samym wynik, będący rozwiązaniem zadania.

ksiązki Odpowiedź

\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=4

© medianauka.pl, 2009-12-02, ZAD-410


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.