Zadanie - własności logarytmów

Treść zadania:

Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W przypadku sumy logarytmów lub ich różnicy istotne jest to, aby podstawy tych logarytmów były jednakowe. W naszym przypadku tak nie jest. Musimy więc zastosować własność logarytmów, która pozwoli nam zamienić podstawę logarytmu na inną. W naszym zadaniu w podstawach logarytmu pojawia się liczba 3 samodzielnie, w ułamku, kwadracie i pod pierwiastkiem. Zmieńmy zatem podstawy logarytmu na liczbę 3, korzystając ze wzoru (dla dodatnich wartości \(a, b\) i \(c\) oraz \(a\) i \(c\) różnych od 1):

\(\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}\)

Zamieńmy więc poszczególne składniki sumy wyrażenia \(W\).

\(log_{\frac{1}{3}}{x}=\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{x}=-1\cdot \log_{3}{x}=-\log_{3}{x}\)

Dla drugiego składnika sumy:

\(\log_{9}{x^2}=\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x^2}=\frac{1}{2}\log_{3}{x^2}=\)

\(=\log_{3}{(x^2)^{\frac{1}{2}}}=\log_{3}{\sqrt{x^2}}=\log_{3}{x} \ dla \ x> 0\)

Tutaj należy się kilka słów wyjaśnienia. Powyżej wykorzystano następującą własność logarytmów:

\(n\cdot \log_{a}{b} =\log_{a}{b^n}\)

Zauważmy też, że gdyby nie warunek \(x>0\), to mielibyśmy \(\sqrt{x^2}=|x|\), a tak możemy opuścić wartość bezwzględną. Ponadto \(\log_{9}{3}=\frac{1}{2}\), bo \(9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3\)

Dla trzeciego składnika sumy:

\(\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\log_{\sqrt{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{x}}=2\log_{3}{\sqrt{x}}=\)

\(=\log_{3}{(\sqrt{x}})^2=\log_{3}{x} \ dla \ x>0\)

Wyjaśnijmy, że \(\log_{\sqrt{3}}{3}=2\), bo \((\sqrt{3})^2=3\).

Możemy więc podstawić obliczone wartości składników sumy do naszego wyrażenia. Otrzymamy wówczas:

\(W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{x}+\log_{3}{x}-\log_{3}{x}=0\)

ksiązki Odpowiedź

\(W=0\)

© medianauka.pl, 2009-12-03, ZAD-411

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz wartość wyrażenia \(4^{1-\log_{2}{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz:

a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)

b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)

c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:

A. \(\frac{3}{2}\)

B. \(2\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Suma \(\log_8{16}+1 jest równa

A. \(3\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\log_8{17}\)

D. \(\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:

A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)

B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)

C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)

D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:

  1. \(4\)
  2. \(2\)
  3. \(2\log_3{2}\)
  4. \(\log_3{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa

A. \(6\log_{4}{10}\)

B. \(16\)

C. \(5\)

D. \(6\log_{4}{16}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa

A. 81

B. 9

C. 4

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.