Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 28 - własności logarytmów


Oblicz wartość wyrażenia: W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x} dla x>0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}
W=\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}
W=-\log_{3}{x}+\frac{1}{2}\log_{3}{x^2}+2\log_{3}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}
W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{\sqrt{x^2}}+\log_{3}{(\sqrt{x})^2}-log_{3}{x}

Dla x>0 mamy:

W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{x}+\log_{3}{x}-\log_{3}{x}=0

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W przypadku sumy logarytmów lub ich różnicy istotne jest to, aby podstawy tych logarytmów były jednakowe. W naszym przypadku tak nie jest. Musimy więc zastosować własność logarytmów, która pozwoli nam zamienić podstawę logarytmu na inną. W naszym zadaniu w podstawach logarytmu pojawia się liczba 3 samodzielnie, w ułamku, kwadracie i pod pierwiastkiem. Zmieńmy zatem podstawy logarytmu na liczbę 3. korzystając ze wzoru (dla dodatnich wartości a,b i c oraz a i c różnych od 1):

\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}

Zamieńmy więc poszczególne składniki sumy wyrażenia W

log_{\frac{1}{3}}{x}=\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{x}=-1\cdot \log_{3}{x}=-\log_{3}{x} tło tło tło tło tło tło

Dla drugiego składnika sumy:

\log_{9}{x^2}=\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x^2}=\frac{1}{2}\log_{3}{x^2}= \\ =\log_{3}{(x^2)^{\frac{1}{2}}}=\log_{3}{\sqrt{x^2}}=\log_{3}{x} \ dla \ x&gt0 tło tło

Tutaj należy się kilka słów wyjaśnienia. Na niebiesko zaznaczono fragment, w którym wykorzystano następującą własność logarytmów:

n\cdot \log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}

Zauważmy też, że gdyby nie warunek x>0, to mielibyśmy \sqrt{x^2}=|x|, a tak możemy opuścić wartość bezwzględną. Ponadto \log_{9}{3}=\frac{1}{2}, bo 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3

Dla trzeciego składnika sumy:

\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\log_{\sqrt{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{x}}=2\log_{3}{\sqrt{x}}= \\ =\log_{3}{(\sqrt{x}})^2=\log_{3}{x} \ dla \ x&gt0 tło tło

Wyjaśnijmy, że \log_{\sqrt{3}}{3}=2, bo (\sqrt{3})^2=3

Możemy więc podstawić obliczone wartości składników sumy do naszego wyrażenia. Otrzymamy wówczas:

W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{x}+\log_{3}{x}-\log_{3}{x}=0

ksiązki Odpowiedź

W = 0

© medianauka.pl, 2009-12-03, ZAD-411


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.