Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Treść zadania:
Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).
Rozwiązanie zadania
Ponieważ dany jest logarytm o podstawie 16, należy w jakiś sposób doprowadzić składniki sumy do logarytmów o takiej właśnie podstawie. Zrobimy to w kilku etapach. Najpierw skorzystamy z pewnej własności działań na logarytmach:
Mamy więc:
\(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}= \log_{4}{a}+\log_{a}{2^4} =\log_{4}{a}+\log_{a}{16}\)
Skorzystamy teraz z następującej własności logarytmu:
Dzięki tej własności możemy zmienić podstawę logarytmu do żądanej wartości.
\(\log_{4}{a}+\log_{a}{16}=\log_{4}{a}+\frac{1}{\log_{16}{a}}\)
Sprowadźmy teraz obie liczby do wspólnego mianownika.
\(\log_{4}{a}\cdot 1+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\log_{4}{a}\cdot \frac{\log_{16}{a}}{\log_{16}{a}}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}\)
Zmienimy jeszcze podstawę logarytmy z 4 na 16, korzystając ze wzoru:
Otrzymujemy:
\(\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{16}\cdot \log_{16}{a} \cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}\)
Teraz możemy zastosować podstawienie. Wiemy na podstawie warunków, że \(\log_{16}{a}=3\), więc:
\(\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot 3^2+1}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-04, ZAD-412
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).
Zadanie nr 4.
Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).
Zadanie nr 6.
Oblicz:
a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)
b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:
A. \(\frac{3}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\frac{5}{2}\)
D. \(3\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Suma \(\log_8{16}+1 jest równa
A. \(3\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\log_8{17}\)
D. \(\frac{7}{3}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:
A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)
B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)
C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)
D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:
- \(4\)
- \(2\)
- \(2\log_3{2}\)
- \(\log_3{8}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa
A. \(6\log_{4}{10}\)
B. \(16\)
C. \(5\)
D. \(6\log_{4}{16}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa
A. \(\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{11}{12}\)
D. 3
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Zadanie nr 16 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).