Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 30 - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów


Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

0,2=\frac{1}{5}+1-1=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wystarczy przedstawić liczbę 0,2 jako sumę trzech dowolnych liczb, a następnie wyrazić je w postaci dowolnych logarytmów o różnych podstawach. Zauważ, że zadanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż każdą liczbę można przedstawić jako sumę trzech innych liczb na nieskończenie wiele sposobów. Tutaj wystarczy podać jeden z takich przykładów.

0,2=\frac{1}{5}+1+(-1)

Jak przedstawić liczbę 1/5 w postaci dowolnego logarytmu? Skorzystamy z pewnej własności potęg:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\ dla \ n\in N, \ a\geq 0

Niech podstawą naszego logarytmu będzie liczba 2.
Zatem:
\frac{1}{5}=\log_{2}{\sqrt[5]{2}},\ bo \ 2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}

W pozostałych przypadkach obierzmy sobie podstawy logarytmu liczby 3 i 4. Mamy więc
1=\log_{3}{3},\ bo \ 3^1=3
-1=\log_{4}{\frac{1}{4}},\ bo \ 4^{-1}=\frac{1}{4}

Mamy już przykładowe rozwiązanie naszego zadania

0,2=\frac{1}{5}+1-1=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}

ksiązki Odpowiedź

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego zadania. Jedno z nich zostało przedstawione poniżej:

0,2=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}

© medianauka.pl, 2009-12-05, ZAD-413


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.