Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Treść zadania:
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\).
Rozwiązanie zadania
1) Po pierwsze wartość mianownika ułamek, który występuję pod logarytmem musi być różna od zera. Zatem mamy pierwszy warunek:
\(x+2\neq 0\)
\(x\neq -2\)
2) Po drugie: elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla \(\mathbb{R_+\). Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:
\(\frac{x}{x+2}>0\)
\(x(x+2)>0\)
Iloraz zastąpiliśmy iloczynem, gdyż znak ilorazu dwóch dowolnych liczb jest taki sam, jak znak iloczynu tych liczb. Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Mamy postać iloczynową trójmianu, czyli \((x-x_1)(x-x_2)\), więc można odczytać pierwiastki. Są to liczby \(0\) i \(-2\) (trójmian można zapisać tak: \((x-0)[x-(-2)])\). Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc po naszkicowaniu wykresu trójmianu możemy odczytać rozwiązanie.
Odczytujemy z wykresu, że trójmian kwadratowy (a zatem także nasz iloraz) przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty)\).
Aby określić dziedzinę naszej funkcji należy uwzględnić oba warunki:
\(\begin{cases} x\neq -2\\x\in (-\infty;-2)\cup (0;+\infty) \end{cases}\)
Oba jednocześnie są spełnione, gdy \((-\infty;-2)\cup (0;+\infty)\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-06, ZAD-416
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).
Zadanie nr 3.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).
Zadanie nr 5.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).