Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 33 - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej


Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Warunek 1
x^3-x^2>0 \\ x^2(x-1)>0

Sporządzamy siatkę znaków:
x(-\infty;0)0(0;1)1(1;+\infty)
x2+0+++
x-1---0+
x2(x-1)-0-0+

x\in (1;\infty)

Warunek 2
-x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1) \\ x^2-2x+1\neq 0 \\ (x-1)^2\neq 0 \\ x\neq 1

Warunek 3
-x^2+2x>0\cdot (-1) \\ x^2-2x<0 \\ x(x-2)<0
Rysunek pomocniczy
x\in(0;2)

Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki.

\begin{cases}x^3-x^2>0 \\ -x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x>0 \end{cases}\begin{cases}x\in (1;\infty) \\ x\neq 1 \\ x\in(0;2) \end{cases}
oś liczbowa, rysunek pomocniczy
Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór x\in (1;2)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy tutaj wziąć pod uwagę aż trzy warunki.
1) Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek:

x^3-x^2>0 \\ x^2(x-1)>0

Wyjęliśmy tutaj x2 przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian posiada dwa pierwiastki: 0 i 1. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-\infty;0)0(0;1)1(1;+\infty)
x2+0+++
x-1---0+
x2(x-1)-0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-\infty;0), niech to będzie -1 i podstawmy do czynnika wielomianu x2 i otrzymujemy wynik (-1)2=1, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki) Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny 1·(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny) Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian x2(x-1) jest dodatni, a więc:

x\in (1;\infty)

2) Warunek drugi wynika z tego, iż podstawa logarytmu musi być różna od jedności.

-x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1) \\ x^2-2x+1\neq 0 \\ (x-1)^2\neq 0 \\ x\neq 1 tło tło

We fragmencie obliczeń zaznaczonym na żółto wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

doprowadzając trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej i stąd bezpośrednio odczytujemy wartość pierwiastka, równego jedności.

3) Warunek trzeci wynika z tego, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera. Mamy więc:

-x^2+2x>0\cdot (-1) \\ x^2-2x<0 \\ x(x-2)<0

Mamy nierówność kwadratową i trójmian w postaci iloczynowej. Pierwiastki tego trójmianu, to liczby 0 i 2. Rozwiązanie odczytujemy ze szkicu wykresu. Współczynnik a jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry i wykres przecina oś OX w punktach 0 i 2. Szukamy wartości funkcji mniejszych od zera.

Rysunek pomocniczy
x\in(0;2)


Aby określić dziedzinę naszej funkcji musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki. Możemy je zapisać używając do tego celu klamry:

\begin{cases}x\in (1;\infty) \\ x\neq 1 \\ x\in(0;2) \end{cases} tło tło tło\begin{cases}x^3-x^2>0 \\ -x^2+2x\neq 1 \\ -x^2+2x>0 \end{cases}

Dziedziną naszej funkcji będzie część wspólna powyższych zbiorów. Zaznaczmy je na osi liczbowej.

Oś liczbowa, rysunek pomocniczy

Rozwiązanie odczytujemy na podstawie powyższego rysunku:

x\in (1;2)

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)} jest zbiór x\in (1;2)

© Media Nauka, 2009-12-08


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy