Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 36 - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej


Naszkicować wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}
y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{x} przesunąć o wektor \vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

x1/41/2124
y=\log_{\frac{1}{2}}{x}210-1-2

Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:

Funkcja y=f(x) przesunięta w układzie współrzędnych o wektor \vec{u}=[p,q] ma postać y-q=f(x-p).

Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:

y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}

Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

\log_{a}{b\cdot c}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}

Powyższy wzór jest prawdziwy dla a,b i c dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:

y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}\\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p) tło tło tło tło tło tło

Na niebiesko zaznaczono fragment obliczeń: \log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}, bo (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{x} przesunąć o wektor \vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

x1/41/2124
y=\log_{\frac{1}{2}}{x}210-1-2

Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1

© medianauka.pl, 2009-12-09, ZAD-421


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.