Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 37 - równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x
x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1
Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, więc równanie \log_{x}{x}=2 jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny

Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera, a po drugie podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej. Aby rozwiązać nasze równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Dla <h2><img src="grafika/teoria-ikona.gif" alt="" width="40" height="30" style="vertical-align:bottom;" /> Rozwiązanie zadania uproszczone</h2>

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x tło tło tło tło tło tło

Dalej już rozwiązujemy równanie kwadratowe, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączając x przed nawias. Otrzymujemy postać iloczynową, z której odczytujemy rozwiązanie.

x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1

Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, a więc równanie \log_{x}{x}=2 nie ma rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Równanie \log_{x}{x}=2 jest sprzeczne.

© Media Nauka, 2009-12-11


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy