Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{3x}=3\).

Rozwiązanie zadania

Określamy na początku dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek 1

Liczba logarytmowana musi być większa od zera.

Warunek 2

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności.

Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\(\begin{cases} 3x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \ \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)\)

Rozwiązań naszego równania będziemy szukać wyłącznie w zbiorze określonym w powyższej ramce.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać wprost z definicji logarytmu.

Dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\)

\(\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b\)

Mamy więc:

\(\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x\)

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie algebraiczne.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzamy je do postaci iloczynowej (wyjmujemy \(x\) przed nawias, a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

\(x^3=x\)

\(x^3-x=0\)

\(x(x^2-3)=0\)

\(x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\)

\(x_1=0,\ x_2=\sqrt{3},\ x_3=-\sqrt{3}\)

W ten sposób otrzymaliśmy trzy rozwiązania. Pierwszy i trzeci pierwiastek nie należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Należy do tego zbioru tylko drugi pierwiastek i tylko ta liczba może być rozwiązaniem danego równania logarytmicznego.

Zatem równanie \(\log_{x}{3x}=3\) ma jedno rozwiązanie: \(\sqrt{3}\).