Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 42 - równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} 1-x^>0/\cdot (-1) \\ x-3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x-1^<0 \\ x>3 \end{cases} \\ \begin{cases} x^<1 \\ x>3 \end{cases}
rysunek pomocniczy
x\in \empty
Równanie \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2 nie ma rozwiązania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności, jak zawsze w przypadku równań logarytmicznych, określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich takich wartości x, dla których równanie logarytmiczne ma sens matematyczny.

Na podstawie definicji logarytmu wiemy, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość (1-x) oraz (x+3). Mamy więc dwa warunki, które ujmujemy w klamrę i rozwiązujemy układ nierówności liniowych:

\begin{cases} 1-x^>0/\cdot (-1) \\ x-3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x-1^<0 \\ x>3 \end{cases} \\ \begin{cases} x^<1 \\ x>3 \end{cases}

Można jeszcze naszkicować oś liczbową z zaznaczonymi przedziałami i odczytać rozwiązanie - część wspólną przedziałów.
rysunek pomocniczy

x\in \empty

Jak widać, oba zbiory nie mają części wspólnej. Dziedziną tego równania jest zbiór pusty (nie ma takiej wartości x, dla której oba logarytmy mają jednocześnie sens matematyczny).

Nie znajdziemy więc żadnego rozwiązania naszego równania logarytmicznego.

ksiązki Odpowiedź

Równanie \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2 nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

© Media Nauka, 2009-12-12


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy