Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 43 - równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania
\begin{cases} x+2^>0 \\ x+3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>-2 \\ x>-3 \end{cases}
rysunek pomocniczy
x\in (-2;+\infty)
\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1
\log_{\frac{1}{3}}{\frac{x+2}{x+3}}=-1 \\ (\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}
3=\frac{x+2}{x+3} \\ 3-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)}{x+3}-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)-(x+2)}{x+3}=0 \\ 3x+9-x-2=0 \\ 2x+7=0 \\ 2x=-7 \\ x=-3\frac{1}{2}
Liczba -3,5 nie należy do dziedziny równania.
Równanie \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0 nie ma rozwiązania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość (x+2) oraz (x+3). Zapisujemy więc oba warunki i rozwiązujemy układ nierówności:

\begin{cases} x+2^>0 \\ x+3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>-2 \\ x>-3 \end{cases}


rysunek pomocniczy

Rozwiązaniem układu jest część wspólna obu przedziałów, a wiec:

x\in (-2;+\infty)

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.


Przystępujemy do rozwiązania równania logarytmicznego.

Mamy tutaj dwa logarytmy o różnych podstawach. Musimy to zmienić. Skorzystamy z własności logarytmów (dla podstaw logarytmów dodatnich i różnych od jedności oraz dodatnich liczb logarytmowanych):

\log_{a}{b}=\log_{c}{a}\cdot \log_{c}{b}

Mamy zatem:

\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+(-1)\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 tło tło tło tło

Teraz skorzystamy z innej własności działań na logarytmach:

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}

Mamy zatem:

\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{\frac{x+2}{x+3}}=-1 \\ (\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}

W ostatnim kroku skorzystano z definicji logarytmu

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, sprowadzamy do wspólnego mianownika i korzystamy z własności ułamków: ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem.

(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3} \\ 3=\frac{x+2}{x+3} \\ 3-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)}{x+3}-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)-(x+2)}{x+3}=0 \\ 3x+9-x-2=0 \\ 2x+7=0 \\ 2x=-7 \\ x=-3\frac{1}{2}

Niestety liczba -3,5 nie należy do dziedziny równania, zatem równanie logarytmiczne nie ma rozwiązania.

ksiązki Odpowiedź

Równanie
\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0
nie ma rozwiązania.

© Media Nauka, 2009-12-12


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy