Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 46 - rozwiązać nierówność logarytmiczną


Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{x}{3}<0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.

x\in (0;1)\cup(1;+\infty)
\log_{x}{3}< 0 \\ \log_{x}{3}< \log_{x}{1}
Gdy wartości funkcji logarytmicznej rosną, argumenty funkcji maleją - mamy do czynienia z funkcją malejącą. Zatem możemy napisać z uwzględnieniem dziedziny nierówności, że rozwiązaniem nierówności \log_{x}{3}<0 jest zbiór (0;1)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dziedzina

Zanim przystąpimy do rozwiązania nierówności logarytmicznej określimy jej dziedzinę, czyli zbiór wszystkich takich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, jego podstawa musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek, który stanowi dziedzinę naszej nierówności:

x\in (0;1)\cup(1;+\infty)

Przystępujemy do rozwiązania nierówności logarytmicznej.

Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę 0 wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie x:

\log_{x}{3}< 0 \\ \log_{x}{3}< \log_{x}{1}

Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Gdy popatrzymy na zwrot nierówności, to widzimy, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ 3>1 (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem musimy napisać, że:

x\in (0;1)

Uwzględniając dziedzinę nierówności (szukamy części wspólnej obu zbiorów) otrzymujemy rozwiązanie:

(Zobacz też przykłady z artykułu o nierównościach logarytmicznych), jeżeli masz kłopot ze zrozumieniem powyższego toku myślenia.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \log_{x}{3}<0 jest zbiór (0;1)

© Media Nauka, 2009-12-16


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy