Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 48 - nierówność logarytmiczna


Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.
x\in (0;+\infty)
\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\frac{1}{2}\cdot \log_{3}{x}\leq -1\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}/\cdot 2 \\ 2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}
2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ 3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}}
x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0
(x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}

x(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})\frac{1}{\sqrt[3]{5}}(\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)
x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}-0+

x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle

Uwzględniamy dziedzinę nierówności logarytmicznej:

rysunek pomocniczy
Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}} jest przedział (0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę danej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna x) musi być większa od zera.

x\in (0;+\infty)

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.


W pierwszej kolejności musimy doprowadzić wszystkie logarytmy do takiej postaci, aby miały jednakową podstawę. Skorzystamy przy tym ze wzoru:

\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}

Zgodnie z powyższym mamy:

tło \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x}+\frac{1}{2}\cdot \log_{3}{x}\leq -1\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}/\cdot 2 \\ 2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} tło tło tło

Dla wyjaśnienia: \log_{9}{3}=\frac{1}{2}, \ bo \ 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3, \ \log_{\frac{1}{3}}{3}=-1, \ bo \ (\frac{1}{2})^{-1}=3

W dalszej części skorzystamy ze wzoru:

n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}

2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ 3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}} \\ \log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}} tło tło tło tło

Ponieważ podstawa logarytmu 3>1, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji. Możemy więc zapisać:

x^3-\frac{1}{5}\leq 0 \\ x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian możemy rozłożyć na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

gdzie a i b oznaczają a=x, \ b=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}. Mamy więc:

x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0 \\ x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}

Mamy tylko jeden pierwiastek. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})\frac{1}{\sqrt[3]{5}}(\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)
x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu za x i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Ponieważ szukamy wartości mniejszych lub równych zero, rozwiązanie nierówności algebraicznej jest następujące:

x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle

Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej (przedział zaznaczony na pomarańczowo) otrzymamy rozwiązanie nierówności logarytmicznej. Szukamy części wspólnej obu zbiorów na osi liczbowej.

rysunek pomocniczy


ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}} jest przedział (0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle

© Media Nauka, 2009-12-20


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy