Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 50 - nierówność wykładnicza


Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{3^{2x}}{9}\geq 1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{3^{2x}}{9}\geq 1 \\ \frac{3^{2x}}{3^2}\geq 3^0
3^{2x-2}\geq 3^0
2x-2\geq 0 \\ 2x\geq 2/:2 \\ x\geq 1
Rozwiązaniem nierówności \frac{3^{2x}}{9}\geq 1 jest zbiór \langle1;+\infty)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Na samym początku przekształcimy nieco lewą stronę naszej nierówności. Przedstawimy liczbę 9 jako kwadrat liczby 3 (fragment obliczeń zaznaczony na żółto) i skorzystamy z własności działań na potęgach (fragment obliczeń zaznaczony kolorem niebieskim):

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Mamy więc:

\frac{3^{2x}}{9}\geq 1 \\ \frac{3^{2x}}{3^2}\geq 1 \\ 3^{2x-2}\geq 1 tło tło tło tło tło

Liczbę 1 możemy przedstawić również jako potęgę liczby 3:

3^{2x-2}\geq 1 \\ 3^{2x-2}\geq 3^0 tło tło

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej. (Jeśli nie rozumiesz poniższego toku myślenia przeczytaj artykuł nadrzędny, do którego link jest w pasku nawigacyjnym.)

Podstawa potęgi a>1, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:

2x-2\geq 0 \\ 2x\geq 2/:2 \\ x\geq 1

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \frac{3^{2x}}{9}\geq 1 jest zbiór \langle1;+\infty)

© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-440


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.