Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 51 - nierówność wykładnicza


Rozwiązać nierówność wykładniczą (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} \\ (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2
-3x-2\leq 2 \\ -3x\leq 4/:(-3) \\ x\geq -\frac{4}{3}

Rozwiązaniem nierówności (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} jest zbiór \langle -\frac{4}{3};+\infty)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą powinniśmy doprowadzić ją do takiej postaci, aby po obu stronach nierówności były potęgi o takich samych podstawach.

Przekształcimy więc nieco prawą stronę nierówności. Przedstawimy liczbę 1/9 jako kwadrat liczby 1/3. Mamy więc

(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} \\ (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2

 

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z własności monotoniczności funkcji wykładniczej. Dokładne objaśnienia znajdziesz w artykule nadrzędnym (patrz pasek nawigacji).

Podstawa potęgi jest ułamkiem (0<a<1), więc funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji, ale o przeciwnym zwrocie. Możemy zapisać, że:

-3x-2\leq 2 \\ -3x\leq 4/:(-3) \\ x\geq -\frac{4}{3}

Dalej już rozwiązaliśmy zwykłą nierówność liniową, otrzymując rozwiązanie nierówności wykładniczej.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} jest zbiór \langle -\frac{4}{3};+\infty)

© Media Nauka, 2009-12-21


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy