Zadanie — rozwiązać nierówność wykładniczą
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).
Rozwiązanie zadania
Na początek określamy dziedzinę nierówności. Mamy tutaj dwa ułamki, których mianowniki muszą być różne od zera.
\(1-2^x\neq0 \ \wedge \ 2-2^x\neq0\)
\(2^x\neq 1 \ \wedge \ 2^x\neq 2\)
\(2^x\neq 2^0 \ \wedge \ 2^x\neq 2^1\)
\(x\neq 0 \ \wedge \ x\neq 1\)
Znak "\(\wedge\)" oznacza koniunkcję (iloczyn logiczny) i można go zastąpić spójnikiem "i" lub klamrą (stworzyć układ). Zatem rozwiązań szukamy w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczb \(0\) i \(1\).
Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą wygodnie jest zastosować podstawienie:
\(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\)
\(2^x=t\)
\(\frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0\)
Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, porządkujemy wyrazy, a następnie wykorzystujemy fakt, że znak iloczynu jest taki sam jak znak ilorazu - zastępujemy więc ułamek iloczynem licznika i mianownika.
\(\frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0\)
\(\frac{3(2-t)}{(2-t)(1-t)}-\frac{2(1-t)}{(2-t)(1-t)}\geq0\)
\(\frac{6-3t-(2-2t)}{(2-t)(1-t)}\geq0\)
\(\frac{6-3t-2+2t}{-1\cdot(t-2)\cdot (-1)\cdot (t-1)}\geq0\)
\(\frac{-(t-4)}{(t-2)(t-1)}\geq0 /\cdot (-1)\)
\(\frac{t-4}{(t-2)(t-1)}\leq0\)
\((t-4)(t-2)(t-1)\leq 0\)
Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez \(W\). Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian jest już w postaci iloczynowej, jego pierwiastkami są liczby \(1, 2\) i \(4\). Sporządzamy siatkę znaków
| \(x\) | \((-\infty;1)\) | \(1\) | \((1;2)\) | \(2\) | \((2;4)\) | \(4\) | \((4;+\infty)\) |
| \(t-1\) | - | 0 | + | + | + | + | + |
| \(t-2\) | - | - | - | 0 | + | + | + |
| \(t-4\) | - | - | - | - | - | 0 | + |
| \(W\) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału od minus nieskończoności do jeden , niech to będzie \(0\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(t\) i otrzymujemy wynik \(t-1=0-1=-1\), a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki). Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Ponieważ szukamy wartości wielomianu mniejszych lub równych zeru, interesują nas przedziały z tabeli, dla których wielomian \(W\) jest ujemny. Mamy więc rozwiązanie powyższej nierówności algebraicznej: \(t\in (-\infty;1)\cup (2;4)\).
My jednak rozwiązujemy nierówność wykładniczą ze względu na zmienną x. Musimy zastosować podstawienie. Wcześniej jednak zapiszmy rozwiązanie nierówności wielomianowej w innej postaci:
\(t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2)\)
Dlaczego tak? Gdy wrócimy do zmiennej x, łatwo nam będzie wykonywać dalsze rachunki, będziemy bowiem rozwiązywać nierówności wykładnicze.
Znak "\(\vee\)" oznacza alternatywę (sumę logiczną) i można go zastąpić spójnikiem "lub". Sumę przedziałów zastąpiliśmy sumą logiczną zdań (dodatkowo drugi przedział zastąpiliśmy iloczynem logicznym dwóch nierówności).
\(t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2)\)
\(t=2^x \\ 2^x\leq1 \ \vee \ (2^x\leq4 \ \wedge \ 2^x\geq2)\)
\(2^x\leq 2^0 \ \vee \ (2^x\leq 2^2 \ \wedge \ 2^x\geq 2^1)\)
\(x\leq 0 \ \vee \ (x\leq 2 \ \wedge \ x\geq 1)\)
Otrzymaliśmy powyżej trzy nierówności wykładnicze. Podstawa potęgi \(a>1\), równa \(2\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności).
Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej (zaznaczono na pomarańczowo).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-443
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).