Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).
Rozwiązanie zadania
Aby rozwiązać to równanie skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
W równaniu mamy dwie wartości bezwzględne. Musimy rozpatrzyć kilka przypadków: gdy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, ujemne, jedno dodatnie, a drugie ujemne i odwrotnie. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zeru, możemy opuścić wartość bezwzględną, jeśli jest ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.
Przypadek 1
\(\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}\)
Dla \(x\in \langle 1;+\infty)\) możemy opuścić wartości bezwzględne. Otrzymujemy równanie:
\(x+1|-|x-1|=5\)
\(x+1-(x-1)=5\)\
\(x+1-x+1=5\)
\(2=5\)
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.
Przypadek 2
\(\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}\)
Dla \(x\in (-\infty;-1)\) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w obu przypadkach zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:
\(|x+1|-|x-1|=5\)
\(-(x+1)-[-(x-1)]=5\)
\(-x-1+x-1=5\)
\(-2=5\)
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania.
Przypadek 3
\(\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}\)
Dla \(x\in \langle -1;1)\) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w przypadku drugiej wartości bezwzględnej musimy zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:
\(|x+1|-|x-1|=5\)
\(x+1-[-(x-1)]=5\)
\(x+1+x-1=5\)
\(2x=5/:2\)
\(x=\frac{5}{2}\)
Liczba \(\frac{5}{2}\) nie należy do przedziału \(\langle -1;1)\), nie jest więc rozwiązaniem równania.
Przypadek 4
\(\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x\geq 1 \end{cases}\)
\(x\in \emptyset\)
W tym przypadku nie ma takich wartości zmiennej \(x\), dla których spełniony jest powyższy warunek.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-451
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).
Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3