Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 64 - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną


Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}
rysunek pomocniczy

x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

2) Dla x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0
rysunek pomocniczy

x\in \empty

Rozwiązaniem nierówności 2x^2-|x+1|\leq -1 jest zbiór x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1 możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x-1+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}

W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć 2x przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1/2. Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek x\geq -1 i odczytujemy rozwiązanie.

rysunek pomocniczy
x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

Przypadek 2

Dla x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1 możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu.:

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0

Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola nie przecina osi OX , gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania

rysunek pomocniczy
x\in \empty

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności 2x^2-|x+1|\leq -1 jest zbiór x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-454


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.