Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej.

Obliczamy wyznacznik główny układu, po przeniesieniu wyrazów wolnych na drugą stronę równań:

\(\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+1\cdot y=-a-1 \end{cases}\)

\( W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-3 \\a&1\end{array}\right|=a+1+3a=4a+1\)

Aby układ równań nie miał rozwiązań musi być spełniony pierwszy warunek, a mianowicie, aby wyznacznik główny układu był równy zero.

\(W=4a+1=0\)

\(4a=-1/:4\)

\(a=-\frac{1}{4}\)

Ponadto układ równań nie ma rozwiązania, gdy jeden z wyznaczników ze względu na \(x\) lub ze względu na \(y\) jest różny od zera. Ponieważ znamy wartość parametru \(a\) możemy napisać:

\(\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+y=-a-1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-\frac{1}{4}+1)x-3y=-(-\frac{1}{4}) \\ -\frac{1}{4}x+y=-(-\frac{1}{4})-1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \frac{3}{4}x-3y=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ -\frac{1}{4}x+y=-\frac{3}{4}/\cdot 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}\)

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na \(x\). W tym celu współczynniki przy niewiadomej \(x\) zastępujemy wyrazami wolnymi:

\(\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}\)

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}1&-12\\-3&4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-12)\cdot(-3)=4-36=-32\neq 0\)

Ponieważ \(W_x\) jest różny od zera, a wyznacznik \(W\) jest równy zeru, mamy pewność, że nasz układ równań nie posiada rozwiązania.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-461

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne