Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 71 - układ równań liniowych z parametrem


Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}
nie ma rozwiązania?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+1\cdot y=-a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-3\\a&1\end{array}\right|=a+1+3a=4a+1
W=4a+1=0 \\ 4a=-1/:4 \\ a=-\frac{1}{4}
\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+y=-a-1 \end{cases} \\ \begin{cases} (-\frac{1}{4}+1)x-3y=-(-\frac{1}{4}) \\ -\frac{1}{4}x+y=-(-\frac{1}{4})-1 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{3}{4}x-3y=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ -\frac{1}{4}x+y=-\frac{3}{4}/\cdot 4 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}
\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases} \\ W_x=\left|\begin{array}{cc}1&-12\\-3&4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-12)\cdot(-3)=4-36=-32\neq 0
Dla a=-1/4 układ równań nie posiada rozwiązania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej.

Obliczamy wyznacznik główny układu, po przeniesieniu wyrazów wolnych na drugą stronę równań:

\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+1\cdot y=-a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-3\\a&1\end{array}\right|=a+1+3a=4a+1tło tło tło tło tło tło

Aby układ równań nie miał rozwiązań musi być spełniony pierwszy warunek, a mianowicie, aby wyznacznik główny układu był równy zero.

W=4a+1=0 \\ 4a=-1/:4 \\ a=-\frac{1}{4}

Ponadto układ równań nie ma rozwiązania, gdy jeden z wyznaczników ze względu na x lub ze względu na y jest różny od zera. Ponieważ znamy wartość parametru a możemy napisać:

\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+y=-a-1 \end{cases} \\ \begin{cases} (-\frac{1}{4}+1)x-3y=-(-\frac{1}{4}) \\ -\frac{1}{4}x+y=-(-\frac{1}{4})-1 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{3}{4}x-3y=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ -\frac{1}{4}x+y=-\frac{3}{4}/\cdot 4 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na x. W tym celu współczynniki przy niewiadomej x zastępujemy wyrazami wolnymi:

\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases} \\ W_x=\left|\begin{array}{cc}1&-12\\-3&4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-12)\cdot(-3)=4-36=-32\neq 0

Ponieważ Wx jest różny od zera, a wyznacznik W jest równy zeru, mamy pewność, że nasz układ równań nie posiada rozwiązania.

ksiązki Odpowiedź

Dla a=-1/4 układ równań nie posiada rozwiązania.

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-461


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.