Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 72 - układ równań liniowych z parametrem


Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}
ma nieskończenie wiele rozwiązań?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-1\\2a&1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1

W=Wx=Wy=0

W=3a+1=0 \\ 3a=-1/:3 \\ a=-\frac{1}{3}

W_x=\left|\begin{array}{cc}b&-1\\c&1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0 \\ b+c=0 \Leftrightarrow b=-c

W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1&b\\2a&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&-c\\-\frac{2}{3}&c\end{array}\right|=\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=-1/3 oraz dowolnych rzeczywistych b, c, przy czym b=-c

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Czynimy tak zazwyczaj, gdy mamy do czynienia z układem równań z parametrem, tak jak w naszym zadaniu.

Obliczamy wyznacznik układu:

\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-1\\2a&1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1 tło tło tło tło tło tło

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań (być układem równań zależnych) wszystkie wyznaczniki układu muszą być równe zero, czyli W=Wx=Wy=0.

Przyrównujemy więc wyznacznik układu do zera, zgodnie z powyższym warunkiem. Otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je ze względ na a.

W=3a+1=0 \\ 3a=-1/:3 \\ a=-\frac{1}{3}

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na x. W tym celu współczynniki przy niewiadomej x zastępujemy wyrazami wolnymi. Wyznacznik ten powinien być równy zeru

W_x=\left|\begin{array}{cc}b&-1\\c&1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0 \\ b+c=0 \Leftrightarrow b=-c

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na y. W tym celu współczynniki przy niewiadomej y zastępujemy wyrazami wolnymi. Podstawiamy też za parametry a oraz b wyznaczone wartości:

W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1&b\\2a&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}+1&-c\\2\cdot (-\frac{1}{3})&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&-c\\-\frac{2}{3}&c\end{array}\right|=\frac{2}{3}\cdot c-(-\frac{2}{3})\cdot(-c)= \\ =\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0

ksiązki Odpowiedź

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=-1/3 oraz dowolnych rzeczywistych b, c, przy czym b=-c

© Media Nauka, 2009-12-30


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy