Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Treść zadania:
Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań
\(\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}\)
ma jedno rozwiązanie?
Rozwiązanie zadania
Do rozwiązania tego zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Metoda ta doskonale sprawdza się w zadaniach z parametrem.
Układ równań liniowych ma jedno rozwiązanie, gdy wyznacznik układu jest różny od zera. Obliczmy więc w pierwszej kolejności wyznacznik układu:
\(\begin{cases} (a-2)x+1\cdot y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}\)
\(W=\left|\begin{array}{cc}a-2&1\\-4&a+4\end{array}\right|=(a-2)(a+4)+4=\)
\(=a^2+4a-2a-8+4=a^2+2a-4\)
Aby układ równań miał rozwiązanie wyznacznik układu muszą być różny od zera. Powyższy wynik przyrównujemy do zera. Musimy teraz rozwiązać równanie kwadratowe.
\(W\neq 0\)
\(a^2+2a-4 \neq 0\)
\(\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\)
\(a_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1-\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1-\sqrt{5}\)
\(a_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1+\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1+\sqrt{5}\)
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania spełniające warunki zadania. Z treści zadania nie wynika iż trzeba podać rozwiązanie układu, więc tego nie robimy.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-463
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań
\(\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}\)
nie ma rozwiązania?
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametrów \(a, b, c\) układ równań
\(\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać układ równań
\(\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać układ równań
\(\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}\)