Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. W tym przypadku będzie to najprostsza metoda ze względu na to, iż mamy do czynienia ze współczynnikami pierwiastkowymi.

Przy założeniu, że wyznacznik układu W jest różny od zera, rozwiązaniem układu jest:

Obliczmy więc wyznacznik układu:

\(\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2}\\(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}\)

\(W=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\2+\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-[-(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})]=\)

\(=2+2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\)

Teraz wyznaczamy wyznacznik ze względu na \(x\), zastępując współczynniki przy zmiennej \(x\) wyrazami wolnymi:

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}3-2\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\-2&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-{(-2)\cdot [-(\sqrt{2}-1)]}=\)

\(=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-2(\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}-4-2\sqrt{2}+2=\sqrt{2}-2\)

Obliczamy wyznacznik ze względu na \(y\), zastępując współczynniki przy zmiennej \(y\) wyrazami wolnymi:

\(W_y=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&3-2\sqrt{2}\\2+\sqrt{2}&-2\end{array}\right|=-2\sqrt{2}-(3-2\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=\)

\(=-2\sqrt{2}-(6+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4)=-2\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=-\sqrt{2}-2\)

Mamy więc rozwiązanie (pamiętamy, że w wyniku pozbywamy się niewymierności z mianownika):

\(x=\frac{W_x}{W}=\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{(\sqrt{2}-2)^2}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)}=\frac{2-4\sqrt{2}+4}{2-4}=\frac{-4\sqrt{2}+6}{-2}=\)

\(=\frac{\cancel{-2}(2\sqrt{2}-3)}{\cancel{-2}}=2\sqrt{2}-3\)

\(y=\frac{W_y}{W}=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{-(\cancel{\sqrt{2}+2)}}{\cancel{\sqrt{2}+2}}=-1\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-464

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne