Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu

Treść zadania:

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:

\(a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...\)

Wykonujemy przekształcenia:

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...\)

Gdy porównamy naszą sumę ze wzorem ogólnym na szereg geometryczny, to widać, że mamy iloraz \(q=\frac{1}{4}\), brakuje nam jednak wyrazu \(a_1\). Zawsze jednak możemy do tej sumy dodać liczbę 0, która nie zmieni wyniku, a pozwoli nam zastosować pewne własności szeregu geometrycznego:

\(\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= 0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=\)

\(=-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...\)

Zaznaczony fragment, to szereg geometryczny, w którym:

\(a_1=1\)

\(q=\frac{1}{4}\)

Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

Możemy więc zapisać:

\(-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\)

\(=-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\frac{1}{3}\)

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-473

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijki trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.