Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 86 - szereg geometryczny - równanie


Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\underline{1+x+x^2+x^3+..}=\frac{8}{7}
a_1=1 \\ q=x
Warunek zbieżności szeregu geometrycznego: |q|=|x|<1.
S=\frac{1}{1-x}=\frac{8}{7} \\ \frac{1}{1-x}-\frac{8}{7}=0 \\ \frac{7}{7(1-x)}-\frac{8(1-x)}{7(1-x)}=0 \\ \frac{7-8(1-x)}{7(x-1)}=0 \\ 7-8+8x=0 \\ 8x=1/:8 \\ x=\frac{1}{8}
Ponieważ |q|=|x|=\frac{1}{8}<1 więc x=1/8 jest rozwiązaniem równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania (patrz - podkreślenie) wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. (\underline{1+x+x^2+x^3+..}=\frac{8}{7})

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

Po lewej stronie równania mamy więc do czynienia wprost z szeregiem geometrycznym, w którym:

a_1=1 \\ q=x

W danym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa 8/7. Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|=|x|<1.
Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:

S=\frac{1}{1-x}=\frac{8}{7} \\ \frac{1}{1-x}-\frac{8}{7}=0 \\ \frac{7}{7(1-x)}-\frac{8(1-x)}{7(1-x)}=0 \\ \frac{7-8(1-x)}{7(x-1)}=0 \\ 7-8+8x=0 \\ 8x=1/:8 \\ x=\frac{1}{8}

Ponieważ |q|=|x|=\frac{1}{8}<1 więc x=1/8 jest rozwiązaniem równania.

ksiązki Odpowiedź

x=1/8

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-476


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.