Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 90 - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n>M \\ \sqrt{n}>M

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas napisać:
n>M^2
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>M2) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg a_n=\sqrt{n}. Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=1 \\ a_2=\sqrt{2} \\ a_3=\sqrt{3} \\ a_4=2 \\ a_5=\sqrt{5} \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n>M \\ \sqrt{n}>M

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas podnieść obie strony nierówności do kwadratu, otrzymamy:
n>M^2
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>M2) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zauważamy, że jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, to zastosujemy kilka przykładów:
Niech np. M=-5. Spójrz teraz na wyrazy ciągu, jakie wypisaliśmy na początku. Widać, że wszystkie wyrazy ciągu są większe od -5.
Niech np. M=2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n0>M2=4 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n0=5 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2,3,4-ego są większe od 2.

© Media Nauka, 2010-01-02


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy