Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 92 - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od tej liczby.


Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

\Delta=M^2+4 \\ n_1=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}
Wykres pomocniczy
Interesują nas tylko dodatnie wartości n, więc otrzymujemy:
n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}


Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.

Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=\frac{1-1}{1}=0 \\ a_2=\frac{1-4}{2}=-1 \\ a_3=\frac{1-9}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3} \\ a_4=\frac{1-16}{4}=-\frac{14}{4}=-3\frac{3}{4} \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

Otrzymaliśmy nierówność wymierną.

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

Ponieważ n jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:
1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

a=1\\ b=M \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=M^2+4 \\ n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Wykres pomocniczy

Interesują nas tylko dodatnie wartości n (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko 1,2,3, itd.), więc otrzymujemy:

n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Skąd wiadomo, że n1 jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości M.

Zauważmy, że \sqrt{M^2+4}>\sqrt{M^2}=M

a także, że

\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0/\cdot 2 \\ -M-\sqrt{M^2+4}<0

Dla dodatnich wartości M nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że M jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
Zatem n1 jest ujemne dla każdej wartości M.

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=-2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2} prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=3,4,5,... prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2-ego są mniejsze od -2.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-482


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.