Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 98 - ciąg geometryczny


Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}
a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}
\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}
\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}
a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}


1)Dla q=\sqrt{2} mamy:
S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=
\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

2) Dla q=-\sqrt{2} mamy:
S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=
=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

Odpowiedź:
a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Wiemy z warunków zadania, że

a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}

Korzystamy więc ze wzoru na n-ty wyraz ciągu:

a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}

Otrzymujemy układ równań, który możemy rozwiązać metodą podstawienia (zgodnie z definicją q jest różne od zera i możemy wykonać poniższe działania):

\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} tło tło

Otrzymaliśmy dwa układy równań ze względu na podwójne rozwiązanie drugiego równania w układzie. Teraz możemy obliczyć wyraz a1 w pierwszym równaniu.

\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot {sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} tło tło tło tło

Mamy więc do czynienia z dwoma możliwymi ciągami. Aby obliczyć wartość dziewiątego wyrazu ciągu stosujemy bezpośrednio przytoczony tutaj na wstępie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_9=a_1q^{9-1}=a_1q^8

Zauważamy, że w przypadku obu ciągów wyraz pierwszy jest ten sam, a iloraz q jest przeciwny, a ponieważ w dziewiątym wyrazie ciągu q występuje w parzystej potędze, więc w przypadku obu ciągów otrzymamy ten sam wynik. Dziewiąty wyraz w przypadku obu ciągów jest równy:

a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}

Pozostało nam obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu zgodnie ze wzorem:

S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Mamy więc dwa różne rozwiązania, gdyż mamy dwa możliwe ilorazy ciągu geometrycznego

Przypadek 1 - dla q=\sqrt{2}

S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}= tło tło tło tło

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

Przypadek 2 - dla q=-\sqrt{2}

S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=

=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

ksiązki Odpowiedź

a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-488


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.