Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 99 - ciąg geometryczny


Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=8 \\ q=\frac{1}{2}
S_{3}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^3}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\cancel{8}\cdot \frac{7}{\cancel{8}}:\frac{1}{2}=14 \\ S_{10}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1023}{1024}:\frac{1}{2}=16\cdot \frac{1023}{1024}=\frac{1023}{64}=15\frac{63}{64}
S=S_{1-}-S_{3}=14-15\frac{63}{64}=1\frac{63}{64}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na sumę n-wyrazów ciągu geometrycznego:

S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Powyższy wzór dotyczy sumy wyrazów od pierwszego do n-tego. Mamy w naszym zadaniu obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu z pominięciem pierwszych trzech. Możemy to zapisać następująco:

S=S_{10}-S_3 \\ a_1=8 \\ q=\frac{1}{2}

Wystarczy więc obliczyć kolejne sumy i odjąć je od siebie:

S_{3}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^3}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\cancel{8}\cdot \frac{7}{\cancel{8}}:\frac{1}{2}=14 \\ S_{10}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1023}{1024}:\frac{1}{2}=16\cdot \frac{1023}{1024}=\frac{1023}{64}=15\frac{63}{64}

Obliczamy różnicę:

S=S_{1-}-S_{3}=14-15\frac{63}{64}=1\frac{63}{64}

ksiązki Odpowiedź

S=1\frac{63}{64}

© Media Nauka, 2010-01-05


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy