Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 104 - ciąg arytmetyczny


Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}
a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const
Różnica ciągu jest stała, więc wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym musimy sprawdzić czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu an+1-an jest wartością stałą. Najpierw jednak trzeba znaleźć wyraz n+1. Nie jest to trudne, gdyż mamy jawnie zapisany wzór na n-ty wyraz ciągu. W więc do wzoru na n-ty wyraz ciągu podstawić n+1:

a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}tło tło tło

Badamy różnicę ciągu:

a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const

Różnica ciągu jest stała (nie zależy od n), więc tym samym wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby lepiej zrozumieć to zadanie przyjrzyj się prostym przykładom.

1) Ciąg 1,2,3,4,5,... jest ciągiem arytmetycznym, gdyż zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest taka sama: 2-1=3-2=4-3=an_1-an=1=constans

2) Ciąg 12,23,34,45,... jest ciągiem arytmetycznym, bo zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: 23-12=34-23=45-34=an_1-an=11=constans

Podobne rozumowanie zastosowaliśmy w rozwiązaniu niniejszego zadania.

© Media Nauka, 2010-01-08


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy