Zadanie - ciąg arytmetyczny
Treść zadania:
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek.
Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: \((a,b,c)\).
Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg \((c,b,a)\). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość, musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu \((a,b,c)\) i \((c,b,a)\) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości \(c\) pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.
Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:
W powyższym wzorze \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, \(h\) - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:
\(P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\)
\(ab=12\)
Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:
Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.
\(b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a\)
Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+b^2=c^2\)
\(a^2+b^2=(2b-a)^2\)
\(\cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2}\)
\(b^2=4b^2-4ab\)
\(-3b^2=-4\cdot 12/:(-3)\)
\(b^2=16\)
\(b=4\)
Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba \(-4\), ale ze względu na to, że \(b\) jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.
Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:
\(ab=12\)
\(4a=12/:4\)
\(a=3\)
Aby znaleźć \(c\), wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:
\(c^2=a^2+b^2\)
\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-499
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)
Zadanie nr 2.
Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie nr 4.
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).
Zadanie nr 5.
Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
A. 28
B. 29
C. 33
D. 40
Zadanie nr 8 — maturalne.
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{37}{2}\)
B. \(-\frac{37}{2}\)
C. \(-\frac{5}{2}\)
D. \(\frac{5}{2}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie nr 10 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
A. \(a_n=-3n+5\)
B. \(a_n=n-3\)
C. \(a_n=-n+3\)
D. \(a_n=3n-5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy
A. \(a_{14}=71\)
B. \(a_{12}=71\)
C. \(a_{11}=71\)
D. \(a_{10}=71\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy
A. \(a_5=4\)
B. \(a_5=3\)
C. \(a_5=6\)
D. \(a_5=5\)
Zadanie nr 16 — maturalne.
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie nr 17 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 18 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).
Zadanie nr 20 — maturalne.
Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).
Zadanie nr 21 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa
A. \(-42\)
B. \(-36\)
C. \(-18\)
D. \(6\)
Zadanie nr 22 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa
A. (-7)
B. (-19,4)
C. 7
D. 19,4
Zadanie nr 23 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie nr 24 — maturalne.
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.