Nauka » Matematyka » Wariacja bez powtórzeń Kombinatoryka

Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią

Treść zadania:

a) Ile można utworzyć liczb z cyfr $1, 2, 3, 4$, używając każdej z cyfr tylko raz?

b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr $1, 2, 3, 4$?

c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr $0, 1, 2, 3$?

Rozwiązanie zadania

Rozwiązanie podpunktu a)

Ile można utworzyć liczb z cyfr $1, 2, 3, 4$, używając każdej z cyfr tylko raz?

Ze zbioru czterech cyfr ($n=4$) tworzymy ciągi liczb stanowiące liczby jednocyfrowe ($k=1$), dwucyfrowe ($k=2$), trzycyfrowe ($k=3$) oraz czterocyfrowe ($k=1$). Cyfry nie mogą się powtarzać, a kolejność cyfr w danej liczbie ma znaczenie.

Zatem tworząc liczby, tworzymy wariacje jedno-, dwu-, trzy- oraz czteroelementowe bez powtórzeń zbioru pięcioelementowego.
(Zobacz tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje z opisem cech warunków zadania z kombinatoryki.)

Liczbę wariacji obliczamy ze wzoru:

$V_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Obliczamy więc cztery razy liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem i sumujemy poszczególne wyniki losowań. Wykonujemy proste obliczenia.

$V_{4}^1+V_{4}^2+V_{4}^{3}+V_{4}^{4}=$

$ =\frac{4!}{(4-1)!}+\frac{4!}{(4-2)!}+\frac{4!}{(4-3)!}+\frac{4!}{(4-4)!}=$

$=\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{0!}=$

$=\frac{3!\cdot 4}{3!}+\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2!}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}=$

$=4+12+24+24=64$

Rozwiązanie podpunktu b)

Ze zbioru 4 cyfr ($n=4) wybieramy \(4,3,2,1$ cyfry ($k=4, k=3, k=2, k=1$) aby utworzyć liczby czterocyfrowe, trzycyfrowe, dwucyfrowe i jednocyfrowe.

W każdym z przypadków (poza liczbami jednocyfrowymi) wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. $1111$, $1212$ itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżniają utworzone liczby (np. $12$ i $21$ oznaczają dwie różne liczby). W każdym z czterech przypadków tworzymy wariacji k-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.)

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:

$W_{n}^k=n^k$

Obliczamy więc czterokrotnie liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem, a wynik otrzymamy sumując je.

$W_{4}^4+W_{4}^3+W_4^2+W_4^1= 4^4+4^3+4^2+4^1=$

$=256+64+16+4=340$

Rozwiązanie podpunktu c)

Ze zbioru 4 cyfr (n=4) wybieramy 4 cyfry (k=4) aby utworzyć liczby czterocyfrowe. Wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. 1111, 1212 itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżnia utworzone liczby (np. 1211 i 2111 oznaczają dwie różne liczby). Tworzymy wariacje 4-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego.

Musimy jeszcze wyeliminować przypadki, w którym cyfra 0 stoi na pierwszym miejscu (i kolejnych), gdyż wówczas nie otrzymujemy liczby czterocyfrowej. Ustawmy 0 na pierwszym miejscu i dobierzemy dowolne trzy cyfry na kolejnych miejscach. Zdarzy się też tutaj, że będą to liczby z dwoma, trzema cyframi na pierwszym miejscu, a także gdy będą to 4 zera, czyli liczba zero. Ile jest takich przypadków, gdy 0 stoi na pierwszym miejscu? Ponieważ kolejność cyfr ma znaczenie, cyfry mogą się powtarzać i wybieramy z czterech cyfr (n=4) trzy cyfry (k=3), tworzymy wariacje 3-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. Wszystkie te wariacje trzeba odjąć od wariacji 4-elementowych z powtórzeniami zbioru czteroelementowego aby otrzymać żądany wynik.

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:

$W_{n}^k=n^k$

Zgodnie z powyższym wzorem oraz warunkami zadania mamy:

$W_{4}^4-W_{4}^3=4^4-4^3=256-64=192$

Odpowiedź

a) Z cyfr $1,2,3,4$ można utworzyć $64$ różne liczby.
b) Z cyfr $1,2,3,4$ można utworzyć $340$ różnych liczb czterocyfrowych.
c) Z cyfr $0,1,2,3$ można utworzyć $192$ różne liczby czterocyfrowe.

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr $1,2,3,4,5$?