Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 121 - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią


a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) V_{4}^1+V_{4}^2+V_{4}^{3}+V_{4}^{4}=\\ =\frac{4!}{(4-1)!}+\frac{4!}{(4-2)!}+\frac{4!}{(4-3)!}+\frac{4!}{(4-4)!}=\\ =\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{0!}=\\ =\frac{3!\cdot 4}{3!}+\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2!}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}=\\ =4+12+24+24=64

b) W_{4}^4+W_{4}^3+W_4^2+W_4^1=4^4+4^3+4^2+4^1=\\ =256+64+16+4=340

c) W_{4}^4-W_{4}^3=4^4-4^3=256-64=192

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązanie podpunktu a)

Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?

Ze zbioru czterech cyfr (n=4) tworzymy ciągi liczb stanowiące liczby jednocyfrowe (k=1), dwucyfrowe (k=2), trzycyfrowe (k=3) oraz czterocyfrowe (k=1). Cyfry nie mogą się powtarzać, a kolejność cyfr w danej liczbie ma znaczenie.

Zatem tworząc liczby, tworzymy wariacje jedno-, dwu-, trzy- oraz czteroelementowe bez powtórzeń zbioru pięcioelementowego.
(Zobacz tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje z opisem cech warunków zadania z kombinatoryki.)

Liczbę wariacji obliczamy ze wzoru:

V_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}

Obliczamy więc cztery razy liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem i sumujemy poszczególne wyniki losowań. Wykonujemy proste obliczenia.

V_{4}^1+V_{4}^2+V_{4}^{3}+V_{4}^{4}=\\ =\frac{4!}{(4-1)!}+\frac{4!}{(4-2)!}+\frac{4!}{(4-3)!}+\frac{4!}{(4-4)!}=\\ =\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{0!}=\\ =\frac{3!\cdot 4}{3!}+\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2!}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}=\\ =4+12+24+24=64

Rozwiązanie podpunktu b)

Ze zbioru 4 cyfr (n=4) wybieramy 4,3,2,1 cyfry (k=4, k=3, k=2, k=1) aby utworzyć liczby czterocyfrowe, trzycyfrowe, dwucyfrowe i jednocyfrowe.

W każdym z przypadków (poza liczbami jednocyfrowymi) wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. 1111, 1212 itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżniają utworzone liczby (np. 12 i 21 oznaczają dwie różne liczby). W każdym z czterech przypadków tworzymy wariacji k-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego.
(Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.)

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:

W_{n}^k=n^k

Obliczamy więc czterokrotnie liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem, a wynik otrzymamy sumując je.

W_{4}^4+W_{4}^3+W_4^2+W_4^1=4^4+4^3+4^2+4^1=\\ =256+64+16+4=340

Rozwiązanie podpunktu c)

Ze zbioru 4 cyfr (n=4) wybieramy 4 cyfry (k=4) aby utworzyć liczby czterocyfrowe. Wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. 1111, 1212 itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżnia utworzone liczby (np. 1211 i 2111 oznaczają dwie różne liczby). Tworzymy wariacje 4-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego.

Musimy jeszcze wyeliminować przypadki, w którym cyfra 0 stoi na pierwszym miejscu (i kolejnych), gdyż wówczas nie otrzymujemy liczby czterocyfrowej. Ustawmy 0 na pierwszym miejscu i dobierzemy dowolne trzy cyfry na kolejnych miejscach. Zdarzy się też tutaj, że będą to liczby z dwoma, trzema cyframi na pierwszym miejscu, a także gdy będą to 4 zera, czyli liczba zero. Ile jest takich przypadków, gdy 0 stoi na pierwszym miejscu? Ponieważ kolejność cyfr ma znaczenie, cyfry mogą się powtarzać i wybieramy z czterech cyfr (n=4) trzy cyfry (k=3), tworzymy wariacje 3-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. Wszystkie te wariacje trzeba odjąć od wariacji 4-elementowych z powtórzeniami zbioru czteroelementowego aby otrzymać żądany wynik.

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:

W_{n}^k=n^k

Zgodnie z powyższym wzorem oraz warunkami zadania mamy:

W_{4}^4-W_{4}^3=4^4-4^3=256-64=192

ksiązki Odpowiedź

a) Z cyfr 1,2,3,4 można utworzyć 64 różne liczby.
b) Z cyfr 1,2,3,4 można utworzyć 340 różnych liczb czterocyfrowych.
c) Z cyfr 0, 1, 2, 3 można utworzyć 192 różne liczby czterocyfrowe

© Media Nauka, 2010-01-13

Zadania podobne

kulkaZadanie 110 - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?


kulkaZadanie 111 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?


kulkaZadanie 112 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?


kulkaZadanie 113 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?


kulkaZadanie 114 - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?


kulkaZadanie 115 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?


kulkaZadanie 116 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?


kulkaZadanie 117 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?


kulkaZadanie 118 - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?


kulkaZadanie 119 - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?


kulkaZadanie 120 - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1


kulkaZadanie 122 - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?


kulkaZadanie 123 - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?


kulkaZadanie 126 - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?


kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy