Zadanie - symbol Newtona, obliczenia
Treść zadania:
Obliczyć:
a) \({111\choose110}+{112\choose110}\)
b) \({95\choose 90}+{95\choose 91}\)
Rozwiązanie zadania
Rozwiązanie podpunktu a)
Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:
Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:
\({111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!(111-110)!}+\frac{112!}{110!(112-110)!}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\)
\(=\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327\)
Rozwiązanie podpunktu b)
Zachodzi własność, którą możemy wykorzystać w niniejszym zadaniu:
Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:
\({95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}\)
Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:
Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:
\({96\choose 91}=\frac{96!}{91!(96-91)!}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot \cancel{95}^{19}\cdot \cancel{96}^4}{\cancel{91!}\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \cancel{5}}=\)
\(=92\cdot 93\cdot 94 \cdot 19 \cdot 4 =61124064\)
Odpowiedź
b)\({95\choose 90}+{95\choose 91}=61124064\)
© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-519
