Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 130 - symbol Newtona


Obliczyć
a) {n+1\choose n-1}
b) {\frac{1}{3}\choose 3}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) {n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\\ =\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{2}

b) {\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{81}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

{n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)![n+1-(n-1)]!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\\ =\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{1\cdot 2}=\frac{n(n+1)}{2}tłotło

Podpunkt b)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby rzeczywistej n:

{n\choose k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot (n-k+1)}{k!}

Wypiszemy wszystkie oznaczenia:

n=\frac{1}{3} \\ k=3 \\ n-k+1=\frac{1}{3}-3+1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}

Mamy więc:

{\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot (\frac{1}{3}-2)}{3!}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}= \\ =\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\cancel{10}^5}{27}\cdot \frac{1}{\cancel{6}_3}=\frac{5}{81}

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź do podpunktu a:
{n+1\choose n-1}=\frac{n(n+1)}{2}
Odpowiedź do podpunktu b:
{\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{5}{81}

© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-520


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.