Nauka » Matematyka » Symbol Newtona

Zadanie - symbol Newtona

Treść zadania:

Obliczyć

a) \({n+1\choose n-1}\)

b) \({\frac{1}{3}\choose 3}\)

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:

\({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

\({n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)![n+1-(n-1)]!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\)

\(=\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{1\cdot 2}=\frac{n(n+1)}{2}\)

Podpunkt b)

Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby rzeczywistej \(n\):

\({n\choose k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot (n-k+1)}{k!}\)

Wypiszemy wszystkie oznaczenia:

\(n=\frac{1}{3}\)

\(k=3\)

\(n-k+1=\frac{1}{3}-3+1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\)

Mamy więc:

\({\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot (\frac{1}{3}-2)}{3!}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}=\)

\(=\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\cancel{10}^5}{27}\cdot \frac{1}{\cancel{6}_3}=\frac{5}{81}\)

Odpowiedź

Odpowiedź do podpunktu a:

\({n+1\choose n-1}=\frac{n(n+1)}{2}\)

Odpowiedź do podpunktu b:

\({\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{5}{81}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

a) \({111\choose110}+{112\choose110}\)

b) \({95\choose 90}+{95\choose 91}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.