Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 144 - równanie algebraiczne (wielomianowe)


Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0

(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-1)(8x^2-2x-1)=0
8x^2-2x-1 \\ a=8 \\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}
Równanie ma trzy rozwiązania:
x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Trzeba znaleźć pierwiastki danego wielomianu (oznaczmy go przez W(x)), co oznacza, że rozwiązujemy równanie algebraiczne.

Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0

Wartość wielomianu dla x=1 jest równa zeru, więc znaleźliśmy jeden pierwiastek x1=1. Teraz w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielimy wielomian W(x) przez wielomian (x-1). Wykonujemy dzielenie:

(8x^3-10x^2+x+1):(x-1)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^3-8x^2}\\ \ \ \ \ \ -2x^2+x+1 \\ \ \ \ \ \ \underline{-2x^2+2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x+1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x+1} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Reszta z dzielenia jest równa zero. Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x-1)(8x^2-2x-1)=0

Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

8x^2-2x-1 \\ a=8 \\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}

Trójmian kwadratowy ma 2 pierwiastki. Zatem badane równanie ma trzy rozwiązania.

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-534


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.