Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 146 - równanie algebraiczne


Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

DR:x\neq -1
3x^2=\frac{6}{x+1} \\ 3x^2-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0
3x^3+3x^2-6=0/:3 \\ x^3+x^2-2=0

W(1)=1^3+1^2-2=0

(x^3+x^2-2):(x-1)=x^2+2x+2\\ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ \ 2x^2-2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{2x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-1)(x^2+2x+2)=0
\Delta=-7<0

Liczba x=1 jest jedynym rozwiązaniem równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zaczniemy od określenia dziedziny równania. Ponieważ w mianowniku występuje wyraz x+1, jego wartość musi być różna od zera.

x+1\neq 0 \\ x\neq -1

Liczba -1 nie należy do zbioru rozwiązań powyższego równania. Przekształcimy je. Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę równania, sprowadzamy je do wspólnego mianownika.

3x^2=\frac{6}{x+1} \\ 3x^2-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0 \\ \frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero. Możemy więc napisać:

3x^3+3x^2-6=0/:3 \\ x^3+x^2-2=0

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2. Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez W(x). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

W(1)=1^3+1^2-2=0 \\ W(-1)=-1+1-2\neq 0 \\ W(2)=8+4-2\neq 0 \\ W(-2)=-8+4-2\neq 0

Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek. Zgodnie z twierdzeniem Bezout liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1. Wykonujemy więc dzielenie:

(x^3+x^2-2):(x-1)=x^2+2x+2\\ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ \ 2x^2-2 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \underline{2x-2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc zapisać:

(x-1)(x^2+2x+2)=0

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy trójmian kwadratowy występujący w nawiasie sprowadzamy do postaci iloczynowej.

x^2+2x+2\\ a=1\\ b=1\\ c=2\\ \Delta=b^2-4ac=1-8<0

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, trójmian nie ma pierwiastków.

Liczba 1 (należąca do dziedziny równania) jest jedynym rozwiązaniem równania.

ksiązki Odpowiedź

x=1

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-536


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.