Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\). Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez \(W(x)\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

\(W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0\)

\(W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0\)

\(W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0\)

\(W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0\)

Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego \(p\) i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy \(x\) w najwyższej potędze, czyli liczby \(30\), a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalne \(\frac{p}{q}\). Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.

\(p:1,-1,2,-2\)

\(q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30\)

\(\frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}\)

Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian \(W(x)\) jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:

\(W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\)

\(=\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0\)

\(W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16} +\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0\)

\(W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\)

\(=\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0\)

\(W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0\)

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: \(\frac{1}{2}\) oraz \(-\frac{1}{3}\). Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez \(x-\frac{1}{2}\) oraz przez \(x+\frac{1}{3}\). Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\)

Wykonujemy dzielenie:

obliczenia

Możemy więc zapisać:

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0\)

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6\)

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0\)

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez \(W_1(x)\)), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): \(\frac{1}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{2}{5}\).

\(W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0\)

\(W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0\)

\(W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0\)

Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu \(W_1(x)\) przez \(x-\frac{2}{5}\), zgodnie z twierdzenie Bezout.

obliczenia

Możemy więc zapisać:

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0\)

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5\)

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0\)

Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:

\(x^2+1\)

\(a=1,\ b=0,\ c=1\)

\(\Delta=b^2-4ac=0-4<0\)

Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków. Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=\frac{2}{5}, \ x_3=\frac{1}{2}\)

© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-537

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.