Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 148 - Nierówność algebraiczna


Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.


ksiązki Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-∞;-4)-4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2(2;+∞)
x-----0+++++
x+4-0+++++++++
x+3---0+++++++
x-1-------0+++
x-2---------0+
W(x)-0+0-0+0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera, bądź równy zero.

Podpunkt b)

Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: -4,-3, 0, 1, 2.

Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:

x(-∞;-4)-4(-4;-3)-3(-3;0)0(0;1)1(1;2)2(2;+∞)
x2+++++0+++++
x+4-0+++++++++
(x+3)5---0+++++++
(x-1)4+++++++0+++
(x-2)2+++++++++0+
W(x)+0-0+0+0+0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-4), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x2 i otrzymujemy wynik 25, a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (+1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (+1)=+1, więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.

ksiązki Odpowiedź

a) x \in \langle -4; -3\rangle \cup \langle 0;1\rangle \cup \langle 2;+\infty)
b) x \in \langle -4; -3\rangle \cup \lbrace 0,1,2 \rbrace

© Media Nauka, 2010-01-24


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy