Nauka » Matematyka » Nierówność wielomianowa

Zadanie - Nierówność algebraiczna

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on \(5\) pierwiastków: \(-4,-3, 0, 1, 2\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)	\((-\infty;-4)\)	-4	(-4;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	\((2;+\infty)\)
\(x\)	-	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
\(x+4\)	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
\(x+3\)	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
\(x-1\)	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
\(x-2\)	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	+
\(W(x)\)	-	0	+	0	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera, bądź równy zero.

Podpunkt b)

Z lewej strony nierówności znów mamy rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 tych samych pierwiastków: \(-4,-3, 0, 1, 2\).

Sporządzamy siatkę znaków. Oto tabela:

\(x\)	\((-\infty-4)\)	-4	(-4;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	\((2;+\infty)\)
\(x^2\)	+	+	+	+	+	0	+	+	+	+	+
\(x+4\)	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
\((x+3)^5\)	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
\((x-1)^4\)	+	+	+	+	+	+	+	0	+	+	+
\((x-2)^2\)	+	+	+	+	+	+	+	+	+	0	+
\(W(x)\)	+	0	-	0	+	0	+	0	+	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie \(-5\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x^2\) i otrzymujemy wynik \(25\), a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((+1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (+1)=+1\), więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest mniejszy od zera, bądź równy zero.

Odpowiedź

a) \(x \in \langle -4; -3\rangle \cup \langle 0;1\rangle \cup \langle 2;+\infty)\)
b) \(x\in \langle -4; -3\rangle \cup \lbrace 0,1,2 \rbrace\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.