Zadanie - nierówność algebraiczna

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Z lewej strony nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Mamy tutaj dwa pierwiastki: \(-3\) i \(4\). Czynnik \(x^2+1\) jest dodatni dla każdej wartości \(x\), ponieważ jest on w parzystej potędze. Dodanie liczby 1 nie zmienia znaku wyrażenia. Jeśli chodzi o trójmian \(x-x^2-3\), to zbadamy jego znak. Uporządkujmy jego wyrazy i zbadajmy wyróżnik trójmianu.

\(x-x^2-3\)

\(-x^2+x-3\)

\(a=-1,\ b=1,\ c=-3\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-12=-11<0\)

Trójmian nie posiada pierwiastków. Jakie przyjmuje wartości? Można je odczytać z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a<0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, trójmian jest ujemny, więc wykres nie przecina osi \(OX\) w żadnym punkcie. Spójrzmy na szkic wykresu.

Zatem trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości dla dowolnego argumentu \(x\).

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-3)\), niech to będzie \(-5\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x-4\) i otrzymujemy wynik \(-9\), a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak określić znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-24, ZAD-540

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.