Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 150 - nierówność algebraiczna


Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

-x^2+x-3 \\ \Delta=-11<0

Wykres pomocniczy
Trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości.

x(-∞;-3)-3(-3;4)4(4;+∞)
x-4---0+
x+3-0+++
x4+1+++++
x-x2-3-----
W(x)-0+0-

x \in (-3,4)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z lewej strony nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Mamy tutaj dwa pierwiastki:-3 i 4. Czynnik x2+1 jest dodatni dla każdej wartości x, ponieważ jest on w parzystej potędze. Dodanie liczby 1 nie zmienia znaku wyrażenia.
Jeśli chodzi o trójmian x-x2-3, to zbadamy jego znak. Uporządkujmy jego wyrazy i zbadajmy wyróżnik trójmianu.

x-x^2-3 \\ -x^2+x-3 \\ a=-1 \\ b=1 \\ c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=1-12=-11<0

Trójmian nie posiada pierwiastków. Jakie przyjmuje wartości? Można je odczytać z wykresu. Ponieważ współczynnik a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół, trójmian jest ujemny, więc wykres nie przecina osi OX w żadnym punkcie. Spójrzmy na szkic wykresu.

Wykres pomocniczy

Zatem trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości dla dowolnego argumentu x.

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-∞;-3)-3(-3;4)4(4;+∞)
x-4---0+
x+3-0+++
x4+1+++++
x-x2-3-----
W(x)-0+0-

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-3), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x-4 i otrzymujemy wynik -9, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak określić znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera.

ksiązki Odpowiedź

x \in (-3,4)

© Media Nauka, 2010-01-24


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy