Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 151 - rozwiązać nierówność algebraiczną


Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0 \\ W(-1)=1-8-3+26-16=0 \\ W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0

(x+1)(x-2)=x^2+x-2x-2=x^2-x-2

(x^4+8x^3-3x^2-26x-16):(x^2-x-2)=x^2+9x+8\\ \ \underline{x^4-x^3-2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ 9x^3-x^2-26x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{9x^3-9x^2-18x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x^2-8x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{8x^2-8x-16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0
x^2+9x+8 \\ \Delta=81-32=49 \\ x_1=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8 \\ x_2=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1
(x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0

x(-∞;-8)-8(-8;-1)-1(-1;2)2(2;+∞)
x+8-0+++++
(x+1)2+++0+++
x-2-----0+
W(x)+0-0-0+

x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Po lewej stronie nierówności mamy do czynienia z wielomianem - oznaczymy przez W(x). Pierwiastków tego wielomianu szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16. Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0 \\ W(-1)=1-8-3+26-16=0 \\ W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: -1 i 2. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-2 oraz przez x+1. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

(x+1)(x-2)=x^2+x-2x-2=x^2-x-2

Dzielimy więc wielomian W(x) przez powyższy trójmian kwadratowy.

(x^4+8x^3-3x^2-26x-16):(x^2-x-2)=x^2+9x+8\\ \ \underline{x^4-x^3-2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ 9x^3-x^2-26x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{9x^3-9x^2-18x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x^2-8x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{8x^2-8x-16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

(x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0

Pozostało rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy, znajdujący się w ostatnim nawiasie:

x^2+9x+8 \\ a=1 \\ b=9 \\ c=8 \\ \Delta=b^2-4ac=81-32=49 \\ \sqrt{\Delta}=7 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

(x+1)(x-2)(x+1)(x+8)\geq 0 \\ (x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-∞;-8)-8(-8;-1)-1(-1;2)2(2;+∞)
x+8-0+++++
(x+1)2+++0+++
x-2-----0+
W(x)+0-0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-8), niech to będzie -10 i podstawmy do czynnika wielomianu x-8 i otrzymujemy wynik -18, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak szukamy znaku wielomianu? Mnożymy przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1, więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera lub równy zero.

ksiązki Odpowiedź

x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace

© Media Nauka, 2010-01-25


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy