Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Po lewej stronie nierówności mamy do czynienia z wielomianem - oznaczymy przez \(W(x)\). Pierwiastków tego wielomianu szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

\(W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0\)

\(W(-1)=1-8-3+26-16=0\)

\(W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0\)

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: \(-1\) i \(2\). Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez \(x-2\) oraz przez \(x+1\). Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

\((x+1)(x-2)=x^2+x-2x-2=x^2-x-2\)

Dzielimy więc wielomian \(W(x)\) przez powyższy trójmian kwadratowy.

obliczenia

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

\((x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0\)

Pozostało rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy, znajdujący się w ostatnim nawiasie:

\(x^2+9x+8\)

\(a=1,\ b=9,\ c=8\)

\(\Delta=b^2-4ac=81-32=49\)

\(\sqrt{\Delta}=7\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1\)

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

\((x+1)(x-2)(x+1)(x+8)\geq 0 \\ (x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0\)

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)\((-\infty;-8)\)\(-8\)\((-8;-1)\)\(-1\)\((-1;2)\)\(2\)\((2;+\infty)\)
\(x+8\)-0+++++
\((x+1)^2\)+++0+++
\(x-2\)-----0+
\(W(x)\)+0-0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-8)\), niech to będzie \(-10\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x-8\) i otrzymujemy wynik \(-18\), a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak szukamy znaku wielomianu? Mnożymy przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1\), więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera lub równy zero.

ksiązki Odpowiedź

\(x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace\)

© medianauka.pl, 2010-01-25, ZAD-541

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.