Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 153 - nierówność algebraiczna


Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Nierówność \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0 jest równoważna nierówności:

(x^4-2x^2+1)(x^2-2)\leq 0
(x^2-1)^2(x^2-2)\leq 0 \\ (x-1)^2(x+1)^2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\leq 0

x(-\infty; -\sqrt{2})-\sqrt{2}(-\sqrt{2};-1)-1(-1;1)1(1;\sqrt{2})\sqrt{2}(\sqrt{2};+\infty)
x-\sqrt{2}-------0+
(x-1)2+++++0+++
(x+1)2+++0+++++
x+\sqrt{2}-0+++++++
W(x)+0-0-0-0+

x \in \langle -\sqrt{2};\sqrt{2}\rangle

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Nierówność \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0 jest równoważna poniższej nierówności:

(x^4-2x^2+1)(x^2-2)\leq 0

Dlaczego tak jest? Zauważmy, że badamy znak wyrażenia z lewej strony nierówności (badamy dla jakich wartości x ułamek jest dodatni). Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Jeżeli dzielimy przez siebie pewne liczby, to otrzymamy wynik, którego znak będzie taki sam, jakbyśmy te same liczby pomnożyli przez siebie.

Po lewej stronie nierówności znajduje się więc wielomian, który należy rozłożyć na czynniki, doprowadzić do postaci iloczynowej. Zajmiemy się każdym wyrażeniem w nawiasie osobno.

W pierwszym przypadku zastosujemy podstawienie i wzór skróconego mnożenia:

x^4-2x^2+1 \\ (x^2)^2-2x^2+1 \\ t=x^2 \\ t^2-2t+1 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\ (t-1)^2 \\ (x^2-1)^2 \\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\ [(x-1)(x+1)]^2 \\ (x-1)^2(x+1)^2 tło tło

W drugim przypadku zastosujemy wzór skróconego mnożenia:

x^2-2\\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})tło

Nasza nierówność przyjmuje postać:

(x-1)^2(x+1)^2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\leq 0

Po lewej stronie nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Bezpośrednio więc z postaci iloczynowej wielomianu odczytujemy pierwiastki wielomianu: -1, 1, -\sqrt{2}, \ \sqrt{2}. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-\infty; -\sqrt{2})-\sqrt{2}(-\sqrt{2};-1)-1(-1;1)1(1;\sqrt{2})\sqrt{2}(\sqrt{2};+\infty)
x-\sqrt{2}-------0+
(x-1)2+++++0+++
(x+1)2+++0+++++
x+\sqrt{2}-0+++++++
W(x)+0-0-0-0+


Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-\infty; -\sqrt{2}), niech to będzie -3 i podstawmy do pierwszego czynnika i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot(+1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1, więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera lub równy zero.

Ponieważ do dziedziny nierówności nie należą oba pierwiastki, wykluczamu je z rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

x∈ (-√2;√2)

© Media Nauka, 2010-01-25


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy