Zadanie - nierówność algebraiczna
Treść zadania:
Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).
Rozwiązanie zadania
Nierówność \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\) jest równoważna poniższej nierówności:
\((x^4-2x^2+1)(x^2-2)\leq 0\)
Dlaczego tak jest? Zauważmy, że badamy znak wyrażenia z lewej strony nierówności (badamy dla jakich wartości \(x\) ułamek jest dodatni). Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Jeżeli dzielimy przez siebie pewne liczby, to otrzymamy wynik, którego znak będzie taki sam, jakbyśmy te same liczby pomnożyli przez siebie.
Po lewej stronie nierówności znajduje się więc wielomian, który należy rozłożyć na czynniki, doprowadzić do postaci iloczynowej. Zajmiemy się każdym wyrażeniem w nawiasie osobno.
W pierwszym przypadku zastosujemy podstawienie i wzór skróconego mnożenia:
\(x^4-2x^2+1\)
\((x^2)^2-2x^2+1\)
\(t=x^2\)
\(t^2-2t+1\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((t-1)^2\)
\((x^2-1)^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\([(x-1)(x+1)]^2\)
\((x-1)^2(x+1)^2\)
W drugim przypadku zastosujemy wzór skróconego mnożenia:
\(x^2-2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\)
Nasza nierówność przyjmuje postać:
\((x-1)^2(x+1)^2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\leq 0\)
Po lewej stronie nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Bezpośrednio więc z postaci iloczynowej wielomianu odczytujemy pierwiastki wielomianu: \(-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
| \(x\) | \((-\infty; -\sqrt{2})\) | \(-\sqrt{2}\) | \((-\sqrt{2};-1)\) | \(-1\) | \((-1;1)\) | \(1\) | \((1;\sqrt{2})\) | \(\sqrt{2}\) | \((\sqrt{2};+\infty)\) |
| \(x-\sqrt{2}\) | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + |
| \((x-1)^2\) | + | + | + | + | + | 0 | + | + | + |
| \((x+1)^2\) | + | + | + | 0 | + | + | + | + | + |
| \(x+\sqrt{2}\) | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + |
| \(W(x)\) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty; -\sqrt{2})\), niech to będzie \(-3\) i podstawmy do pierwszego czynnika i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot(+1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1\), więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest mniejszy od zera lub równy zero. Ponieważ do dziedziny nierówności nie należą oba pierwiastki, wykluczamu je z rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-25, ZAD-543
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),
b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).