Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 167 - pierwiastek wielomianu


Sprawdzić, czy liczby 1, \ \sqrt{2} są pierwiastkami wielomianu W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\\ W(1)=\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0
W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2= \\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2=2^3-2\cdot 4-2^2+4=0

\sqrt{2} jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.

Podstawiamy więc liczby: jeden i pierwiastek z dwóch do wielomianu za niewiadomą i sprawdzamy, czy jego wartość jest równa zeru.

W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\\ W(1)=\sqrt{2}\cdot 1^5-2\cdot 1^4-\sqrt{2}\cdot 1^3+3\cdot 1^2-2\sqrt{2}\cdot 1+2= \\ =\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0

Liczba 1 nie jest więc pierwiastkiem wielomianu W(x), bo wartość wielomianu w tym punkcie nie jest zerem.

Sprawdźmy kolejną liczbę, pamiętając o działaniach na potęgach i pierwiastkach:

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, \ a\geq 0 \\ a^n\cdot a^m=a^{m+n} \\ (a^n)^m=a^{m\cdot n}

W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2= \\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^5-2\cdot (2^{\frac{1}{2}})^4-2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^3+3\cdot 2-2\cdot 2+2=\\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2= \\ =2^{\frac{6}{2}}-2\cdot 2^2-2^{\frac{4}{2}}+4=2^3-2\cdot 4-2^2+4=8-8-4+4=0

Pierwiastek z dwóch jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

ksiązki Odpowiedź

\sqrt{2} jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

© Media Nauka, 2010-01-30


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy