Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Treść zadania:
Rozłożyć wielomian:
a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)
b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.
W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń. Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik \(2x^3\), w drugiej grupie liczbę \(-4\):
\(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)\)
W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania).
\(W(x)=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)=(x^2-1)(2x^3-4)\)
Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
Otrzymamy:
\(W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)\)
Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.
Mamy więc:
\(W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\)
\(=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\)
\(=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\)
\(=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})\)
Podpunkt b)
Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik \(-x^2\), drugą grupę ująć tylko w nawias:
\(W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)\)
W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania).
\(W(x)=-x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(-x^2+1)\)
W drugim nawiasie można wyjąć minus przed nawias i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
Otrzymamy:
\(W(x)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=-(x-1)(x-1)(x+1)=\)
\(= -(x-1)^2(x+1)\)
Odpowiedź
\(=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})\)
b) \(-x^3+x^2+x-1=-(x-1)^2(x+1)\)
© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-560
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozłożyć na czynniki wielomian:
a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)
b) \(W(x)=x^8-1\)
c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)
d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
Zadanie nr 2.
Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)