Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 170 - rozkład wielomianu na czynniki


Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4
b) W(x)=-x^3+x^2+x-1
na czynniki metodą grupowania wyrazów.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)= \\ =(x^2-1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=
=2(x-1)(x+1)(x^3-2)=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})

b) W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)=\\ =(x-1)(-x^2+1)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=\\ =-(x-1)(x-1)(x+1)= -(x-1)^2(x+1)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń.
Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik 2x3, w drugiej grupie liczbę -4:

W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1) tło tło

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W(x)=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)=(x^2-1)(2x^3-4) tło

Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymamy:

W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)

Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)

Mamy więc:

W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\\ =2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}) tło tło

Podpunkt b)

Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik -x2, drugą grupę ująć tylko w nawias:

W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1) tło tło

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W(x)=-x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(-x^2+1) tło

W drugim nawiasie można wyjąć minus przed nawias i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymamy:

W(x)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=-(x-1)(x-1)(x+1)=\\ = -(x-1)^2(x+1)

tło Odpowiedź

a) 2x^5-2x^3-4x^2+4=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})
b) -x^3+x^2+x-1=-(x-1)^2(x+1)

© Media Nauka, 2010-01-30


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy