Zadanie - układ równań drugiego stopnia

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu. Ma ono postać:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\).

Wykresem równania \((x-2)^2+(y-2)^2=1\) jest okrąg o środku w punkcie \(S=(2,2)\) i o promieniu \(r=1\).

Jeżeli chodzi o drugie równanie, to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x01
y12

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich punkty wspólne, które stanowią rozwiązanie graficzne układu.

Rozwiązanie graficzne układu równań

Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku są to punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(2,3)\). Mimo, iż określiliśmy współrzędne punktów, stanowiących rozwiązanie układu w metodzie graficznej, jest to jednak jedynie przybliżone rozwiązanie. Nie można w ten sposób dokładnie określić współrzędnych. Niemniej jednak bardzo często rozwiązanie graficzne pomaga w znalezieniu wyniku za pomocą rachunków. Znajdźmy to rozwiązanie.

Stosujemy metodę podstawienia:

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

\((x-2)^2+(x+1-2)^2=1\)

\((x-2)^2+(x-1)^2=1\)

\(x^2-4x+4+x^2-2x+1-1=0\)

\(2x^2-6x+4=0/:2\)

\(x^2-3x+2=0\)

\(a=1,\ b=-3,\ c=2\)\

\(\Delta=b^2-4ac=9-8=1\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{2}=1\)

\( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{2}=2\)

Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x, otrzymując dwa rozwiązania. Mamy więc teraz dwa układy:

\(\begin{cases}x=1\\y=x+1\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=x+1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1\\y=1+1\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=2+1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)

Zauważmy, że są to współrzędne punktów przecięcia się wykresów równań układu.


© medianauka.pl, 2010-02-04, ZAD-575

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.