Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)


ksiązki Rozwiązanie szczegółowe

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych.

\(xy-2=0\)

\(xy=2/:x (x\neq 0)\)

\(y=\frac{2}{x}\)

Wykresem tego równania jest hiperbola. Założyliśmy, że \(x\) jest różne od zera. Gdyby \(x\) było równe zeru, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: \(0=2\). Sporządzamy tabelkę zmienności:

x-2-1-1/21/212
y-1-2-4421

Jeżeli chodzi o drugie równanie (\(y=-3x+3\)), to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x01
y30

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań

Wykresy wydają się nie mieć punktów wspólnych, stąd wniosek, że układ równań nie ma rozwiązania.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów, spełniają zarówno pierwsze, jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punktów. Znajdźmy teraz rozwiązanie za pomocą rachunków.

Stosujemy metodę podstawienia:

\(\begin{cases}xy-2=0\\y=-3x+3\end{cases}\)

\(x(-3x+3)-2=0\)

\(-3x^2+3x-2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=9-24=-15<0\)

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, równanie nie posiada pierwiastków, a co za tym idzie, układ równań również nie posiada rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Układ równań nie ma rozwiązania.

© medianauka.pl, 2010-02-05, ZAD-576

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.