Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres trzech równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie \(S=(-1,-1)\) i promieniu o długości \(2\), zgodnie z równaniem okręgu:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

gdzie \(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu, a \(r\) długością promienia.

Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi \(OX\), przecinająca oś \(OY\) w punkcie \((0,1)\).

Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi \(OY\), przecinająca oś \(OX\) w punkcie \((3,0)\).

Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia

Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do prostej poziomej spełniają drugie równanie, punkty należące do prostej pionowej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla trzech wykresów spełniają zarówno pierwsze, drugie jak i trzecie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punków, które jednocześnie należałyby do wszystkich wykresów. Układ równań nie ma rozwiązania. Na rysunku widać punkty wspólne dla co najwyżej dwóch wykresów.

Przeprowadźmy teraz rachunki. Ponieważ mamy już wyznaczone wartości x oraz y, wystarczy sprawdzić, czy dla tych wartości zmiennych pierwsze równanie jest prawdziwe. Dokonujemy więc podstawienia:

\(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

\((3+1)^2+(1+1)^2=4\)

\(16+4=4\)

\(20=4\)

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, stąd wniosek, że układ ten nie ma rozwiązań.

Podpunkt a)

Podobnie jak poprzednio rozwiążemy najpierw układ równań graficznie.

Sporządzimy wykres trzech równań z układu.

Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie \(S=(1,1)\) i promieniu o długości \(2\).

Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi \(OX\), przecinająca oś \(OY\) w punkcie \((0,1)\).

Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi \(OY\), przecinająca oś \(OX\) w punkcie \((3,0)\).

Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia

Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Wyjaśniliśmy to w podpunkcie a). W naszym przypadku jest jeden taki punkt \(A=(3,1)\), które jednocześnie należy do wszystkich wykresów.

Przeprowadźmy teraz rachunki. Ponieważ mamy już wyznaczone wartości \(x\) oraz \(y\), wystarczy sprawdzić, czy dla tych wartości zmiennych pierwsze równanie jest prawdziwe. Dokonujemy więc podstawienia:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

\((3-1)^2+(1-1)^2=4\)

\(4+0=4\)

\(4=4\)

Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, stąd wniosek, że \(A=(3,1)\) jest rozwiązaniem układu.

ksiązki Odpowiedź

a) Układ równań nie posiada rozwiązań.
b) Układ równań posiada jedno rozwiązanie, którego graficzną interpretacją jest punkt \(A=(3,1)\).

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-578

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.