Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 197 - nierówność kwadratowa


Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0


ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność x^2+2x-3\geq 0 musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

a=1\\ b=2\\ c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+13=16

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

x\in (-\infty; -3\rangle \cup \langle 1;+\infty)

ksiązki b) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0 musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

a=-1\\ b=\frac{3}{4}\\ c=-\frac{1}{8} \\ \Delta=b^2-4ac=(\frac{3}{4})^2-4\cdot (-1)\cdot (\frac{1}{8})=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\\ \sqrt{\Delta}=\frac{1}{4}

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

x_1=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a jest ujemny, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

x\in (\frac{1}{4};\frac{1}{2})

ksiązki c) Rozwiązanie szczegółowe

Przekształcamy nierówność:

-x^2+2\leq 0\\ -(x^2-2)\leq 0/:(-1) \\ x^2-2\geq 0 \\ x^2-(\sqrt{2})^2\geq 0

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\geq 0

Trójmian ma więc dwa pierwiastki.

x_1=-\sqrt{2} \\ x_2=\sqrt{2}

Współczynnik a jest ujemny (interesuje nas nierówność po przekształceniach), równanie ma dwa pierwiastki, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero (cały czas interesuje nas nierówność po przekształceniach), więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

x\in (-\infty; -\sqrt{2}\rangle \cup \langle \sqrt{2};+\infty)

© medianauka.pl, 2010-02-08, ZAD-587


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.