Zadanie - nierówność kwadratowa

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+2x-3\geq 0\)

b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)

c) \(-x^2+2\leq 0\)


ksiązki Rozwiązanie części a)

Aby rozwiązać nierówność \(x^2+2x-3\geq 0\) musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik:

\(a=1,\ b=2,\ c=-3\)

\(\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+13=16\)

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\)

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

\(x\in (-\infty; -3\rangle \cup \langle 1;+\infty)\)

ksiązki Rozwiązanie części b)

Aby rozwiązać nierówność \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\) musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik:

\(a=-1,\ b=\frac{3}{4},\ c=-\frac{1}{8}\)

\(\Delta=b^2-4ac=(\frac{3}{4})^2-4\cdot (-1)\cdot (\frac{1}{8})=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)

\(\sqrt{\Delta}=\frac{1}{4}\)

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

\(x_1=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}\)

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a jest ujemny, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

\(x\in (\frac{1}{4};\frac{1}{2})\)

ksiązki Rozwiązanie części c)

Przekształcamy nierówność:

\(-x^2+2\leq 0\)

\(-(x^2-2)\leq 0/:(-1)\)

\( x^2-2\geq 0\)

\(x^2-(\sqrt{2})^2\geq 0\)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\geq 0\)

Trójmian ma więc dwa pierwiastki.

\(x_1=-\sqrt{2}\)

\(x_2=\sqrt{2}\)

Współczynnik \(a\) jest ujemny (interesuje nas nierówność po przekształceniach), równanie ma dwa pierwiastki, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero (cały czas interesuje nas nierówność po przekształceniach), więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

ksiązki Odpowiedź

\(x\in (-\infty; -\sqrt{2}\rangle \cup \langle \sqrt{2};+\infty)\)

© medianauka.pl, 2010-02-08, ZAD-587

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(2x^2-|x+1|\leq -1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność:

a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)

b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+8x+16> 0\)

b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych?

b) zbiór pusty?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x}{x+1}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać nierówność \(2x^2-4x>3x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2−3x>5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2−16x+16>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2(x −1)(x + 3)>x −1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(x^2-5x ≤ 14\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2-3x-9\geq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.